FANDOM


Ardışık sayılar, kendisinden önce ve sonra gelen sayılara bir kural ile bağlı olan sayılara denir.

n:Bir Tam Sayı
Ardışık Tek Sayı  : 2n+58+60 (2'şer artan ardışık çift sayı)

Ardışık Sayıların ToplamıEdit

  • Ardışık Sayma Sayılarının Toplamı:
$ 1+2+3....n=n.(n+1)/2 $
2+4+6+ ... + 2n = n.(n+1)
$ 1+3+5+ .... +(2n-1)= n.n $
$ 1+2+3....n=n.(n+1)/2 $
toplamına sıra ile 1,2,3...n değerlerini verirsek şöyle bir dizi veya seri elde ederiz
$ 1+3+6+10....n.(n+1)/2!=n.(n+1).(n+2)/3! $
Aynı işlemi bir kez daha yineleyelim
$ 1+4+10+20....n.(n+1).(n+2)/3!=n.(n+1).(n+2).(n+3)/4! $
formülü genelleştirirsek işlem sırası r olmak üzere
yani
$ 1+2+3....n=n.(n+1)/2 $ için r=0
$ 1+3+6+10....n.(n+1)/2!=n.(n+1).(n+2)/3! $ için r=1
$ 1+4+10+20....n.(n+1).(n+2)/3!=n.(n+1).(n+2).(n+3)/4! $ için r=2
ifadeyi genelleştirirsek; r=r için
$ \sum_{n=1}^n \frac{n(n+1)(n+2)...(n+r)}{(r+1)!} = \frac{n.(n+1).(n+2)...(n+r+1)} {(r+2)!} $

$ \Gamma(n) = (n-1)! $ olduğu hatırlanırsa
$ \Gamma(n+r) = (n+r-1)! $
sigma altında paydaki en son terim n+r olacak
r yerine r+1 konursa
$ \Gamma(n+r+1) = (n+r)! $
1.2.3.4...(n-1).n.(n+1).(n+2)...(n+r)/(n-1)!=n(n+1)(n+2)...(n+r)
olacaktır,bu nedenle;
Γ(n) = (n − 1)! olduğu için
$ \sum_{n=1}^n \frac{\Gamma(n+r+1)}{(r+1)!\,(n-1)!} = \frac{n.(n+1).(n+2)...(n+r+1)} {(r+2)!} $

$ \sum_{n=1}^k $ alınırsa;
$ \sum_{n=1}^k \frac{\Gamma(n+r+1)}{(r+1)!\,(n-1)!} = \frac{k.(k+1).(k+2)...(k+r+1)} {(r+2)!} $

sonuç
$ 2\,\sum_{n=1}^k\,n $ ile çift doğal sayıların
$ 2\,\sum_{n=1}^k\,n-\sum_{n=1}^k\,1 $ ile tek doğal sayıların
ardışık toplamlarının,toplamlarının... toplamı bulunabilir.

Ardışık Sayıların Pascal üçgeni ile ilgisiEdit

n  
0 1
1 1  1
2 1  2  1
3 1  3  3  1
4 1  4  6  4  1
5 1  5 10 10  5  1
6 1  6 15 20 15  6  1
7 1 7 21 35 35 21  7  1
8 1 8 28 56 70 56 28  8  1
 

Pascal üçgenini incelersek üçgenin sağ kenarını sadece 1 lerin oluşturduğu

$ 1,1,1....1 $ dizisi vardır.

daha içte;

$ 1,2,3....n $ dizisi vardır.

daha içte;

$ 1,3,6,10....n(n+1)/2 $ dizisi vardır.

ardışık toplamların,toplamların,...., toplamı bizi en sol alttaki farka götürür.Burdaki örnekte bu değer 8-1=7'dir.


Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.