Ardışık sayılar

Ardışık sayılar, kendisinden önce ve sonra gelen sayılara bir kural ile bağlı olan sayılara denir.

n:Bir Tam Sayı

Ardışık Tek Sayı  : 2n+58+60 (2'şer artan ardışık çift sayı)

Ardışık Sayıların Toplamı

• Ardışık Sayma Sayılarının Toplamı:

$1+2+3....n=n.(n+1)/2$

• Ardışık Çift Doğal sayıların Toplamı:

2+4+6+ ... + 2n = n.(n+1)

• Ardışık Tek Doğal sayıların Toplamı:

$1+3+5+ .... +(2n-1)= n.n$

• Ardışık toplamlı ardışık Doğal Sayıların Toplamı:

$1+2+3....n=n.(n+1)/2$

toplamına sıra ile 1,2,3...n değerlerini verirsek şöyle bir dizi veya seri elde ederiz

$1+3+6+10....n.(n+1)/2!=n.(n+1).(n+2)/3!$

Aynı işlemi bir kez daha yineleyelim

$1+4+10+20....n.(n+1).(n+2)/3!=n.(n+1).(n+2).(n+3)/4!$

formülü genelleştirirsek işlem sırası r olmak üzere

yani

$1+2+3....n=n.(n+1)/2$ için r=0

$1+3+6+10....n.(n+1)/2!=n.(n+1).(n+2)/3!$ için r=1

$1+4+10+20....n.(n+1).(n+2)/3!=n.(n+1).(n+2).(n+3)/4!$ için r=2

ifadeyi genelleştirirsek; r=r için

$\sum_{n=1}^n \frac{n(n+1)(n+2)...(n+r)}{(r+1)!} = \frac{n.(n+1).(n+2)...(n+r+1)} {(r+2)!}$

$\Gamma(n)=(n-1)!$ olduğu hatırlanırsa

$\Gamma(n+r) = (n+r-1)!$

sigma altında paydaki en son terim n+r olacak

r yerine r+1 konursa

$\Gamma(n+r+1) = (n+r)!$

1.2.3.4...(n-1).n.(n+1).(n+2)...(n+r)/(n-1)!=n(n+1)(n+2)...(n+r)

olacaktır,bu nedenle;

Γ(n) = (n − 1)! olduğu için

$\sum_{n=1}^n \frac{\Gamma(n+r+1)}{(r+1)!\,(n-1)!} = \frac{n.(n+1).(n+2)...(n+r+1)} {(r+2)!}$

$\sum_{n=1}^k$ alınırsa;

$\sum_{n=1}^k \frac{\Gamma(n+r+1)}{(r+1)!\,(n-1)!} = \frac{k.(k+1).(k+2)...(k+r+1)} {(r+2)!}$

sonuç

$2\,\sum_{n=1}^k\,n$ ile çift doğal sayıların

$2\,\sum_{n=1}^k\,n-\sum_{n=1}^k\,1$ ile tek doğal sayıların

ardışık toplamlarının,toplamlarının... toplamı bulunabilir.

Ardışık Sayıların Pascal üçgeni ile ilgisi

n
0	1
1	1  1
2	1  2  1
3	1  3  3  1
4	1  4  6  4  1
5	1  5 10 10  5  1
6	1  6 15 20 15  6  1
7	1 7 21 35 35 21  7  1
8	1 8 28 56 70 56 28  8  1
↓

Pascal üçgenini incelersek üçgenin sağ kenarını sadece 1 lerin oluşturduğu

$1,1,1....1$ dizisi vardır.

daha içte;

$1,2,3....n$ dizisi vardır.

daha içte;

$1,3,6,10....n(n+1)/2$ dizisi vardır.

ardışık toplamların,toplamların,...., toplamı bizi en sol alttaki farka götürür.Burdaki örnekte bu değer 8-1=7'dir.