Doğal sayılar, şeklinde sıralanan tam sayılardır. Negatif değer almazlar. Bazı kaynaklarda "0" doğal sayı olarak alınmaz. Matematikte hala sıfırın bir doğal sayı alınıp alınmayacağı tartışma konusudur, ancak eğer cebirsel inşâlar yapılmak isteniyorsa "0" sayısının doğal sayı olarak alınması avantaj sağlayabilir. Matematiğin diğer dallarında da problem hangi durumda daha kolay ifade edilebilecekse doğal sayılar kümesi de o şekilde alınır.
Sayı değeri[]
Bir doğal sayının rakamlarının belirttiği değere rakamların sayı değeri denir. Doğal sayının rakamlarının toplamına rakamların sayı değerleri toplamı denir.
Basamak değeri[]
9 basamaklı bir doğal sayının basamaklarının
- Birler basamağının basamak değeri :1
- Onlar basamağının basamak değeri :10
- Yüzler basamağının basamak değeri :100
- Binler basamağının basamak değeri :1.000
- On binler basamağının basamak değeri :10.000
- Yüz binler basamağının basamak değeri :100.000
- Milyonlar basamağının basamak değeri :1.000.000
- On milyonlar basamağının basamak değeri :10.000.000
- Yüz milyonlar basamağının basamak değeri :100.000.000
Onlu sayma düzeninde bir basamağın değeri sağındaki basamağın 10 katıdır.
Bir rakamın basamak değeri o rakam ile rakamın yazıldığı basamağın çarpımıyla bulunur..
12345 sayısındaki 2 nin basamak değeri 2 (sayı değeri) ve 1000 (basamak değeri) çarpılarak 2 X 1000 2000 şeklinde bulunur.
Peano Belitleri tanımı[]
Peano belitleri tarihsel olarak doğal sayıların en genel (ve sezgisel) tanımıdır. Modern tanımlar bu tanımı sağlar.
- Sıfır bir doğal sayıdır.
- Her doğal sayının, yine bir doğal sayı olan bir ardılı vardır.
- Ardılı sıfır olan hiç bir doğal sayı yoktur.
- Ardılları eşit olan doğal sayılar da birbirine eşittir.
- Doğal sayılardan oluşan bir küme, sıfırı ve her doğal sayının ardılını içeriyorsa o küme doğal sayılar kümesine eşittir.
Sıfırı doğal sayı olarak kabul etmeyen grup, buradaki belitlerin "Bir, bir doğal sayıdır." olarak kabul eder.
ZFC tanımı[]
Zermelo-Freankel küme kuramı doğal sayılar, von Neumann sıral sayılarıyla inşa edilebilir. Buna göre her sayı temelde bir kümedir. Eğer sıfır boşküme olarak tanımlanırsa ve her n sayının ardılı, , n{n} olarak verilirse, doğal sayılar inşa edilmiş olur.
Bu tanım doğal sayıların yinelgen bir yapıda olduğunu da belirtmiş olur. Bu yinelgen tanımla sayılar,
- 0={}
- 1={0}
- 2={0,1}
- 3={0,1,2}
- ...
- n+1={0,1,...,n}
Bu tanımda iki doğal sayının eşitliği sayıların öğe sayısına dayanır.
Russell'ın farklı bir tanımı daha genel görünebilir:0 DOĞAL SAYIDIR
- (sıfır, hiç öğesi olmayan tüm kümelerin kümesi)
- (n nin ardılı, öğe sayısı n olan tüm kümelerin kümesi)
Ne var ki bu tanım belitsel küme kuramlarında geçerli değildir, çünkü bir sayı, küme olamayacak kadar büyük topluluklar olmak zorunda kalıyor. Ancak tipler kuramı gibi kuramlarda geçerlidir.
Büyüklük ve küçüklük ilişkileri[]
Doğal sayıların sıralanmasına en büyük basamaktan başlanır. Aynı basamakta büyük rakam bulunan sayı diğerinden büyüktür.
İki sayının yüz milyonlar basamaklarında eşit rakamlar bulunuyor. Bu nedenle karşılaştırma bir sonraki basamak olan on milyonlar basamaklarında yapılır. Bu basamaklarda 9 > 8 olduğundan 894.125.067 > 887.954.700 yazılır. “ 894.125.067 büyüktür 887.954.700 şeklinde okunur.”
Doğal Sayılar Kümesinde; iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayı olur.
Matematik - Cebir Mizan | ||
---|---|---|
Sayılar | Doğal sayılar - Tam sayılar - Rasyonel sayılar - İrrasyonel sayılar- Reel sayılar - Karmaşık sayılar- Asal sayılar-Sabitler- Hiperbolik sayılar- Çifte karmaşık sayılar - p-sel sayılar-Ardışık sayılar - Aşkın sayı - Mükemmel sayı-İkili sayılar-Sıfır | Matematik |
Uzay | Cebirsel geometri -- Diferansiyel geometri -- Diferansiyel topoloji -- Cebirsel topoloji -- Lineer cebir -- Geometri - Trigonometri - Diferansiyel geometri - Topoloji - Fraktal geometri | |
Hesap | Aritmetik -- Analiz -- Türev -- Kesirli hesap -- Fonksiyonlar -- Trigonometrik fonksiyonlar - Kalkülüs - Vektör hesabı- Diferansiyel denklemler - Dinamik sistem - Kaos kuramı | |
Temel matematiksel yapılar | Monoid -- Öbek (matematik) -- Halkalar -- Cisim (Cebir) -- Topolojik Uzaylar -- Çokkatlılar -- Hilbert aksiyomları -- Sıralamalar | |
Temel matematiksel kavramlar | Kümeler -- Sayılar -- Fonksiyonlar -- Limit -- Süreklilik -- Türev ve Türevlenebilirlik -- Analitiklik -- İntegrallenebilirlik -- Matris -- Eşyapı -- Homotopi -- İyi-sıralılık ilkesi -- Sayılabilirlik -- Soyutluk -- Determinantlar -- Oran -- Orantı -- Polinom -- Permütasyon -- Kombinasyon -- Logaritma -- Diziler -- Seriler | |
Matematiğin ana dalları | Soyut cebir -- Sayılar teorisi -- Cebirsel geometri -- Grup teorisi -- Analiz -- Topoloji -- Çizge Kuramı -- Genel cebir -- Kategori teorisi -- Matematiksel mantık -- Türevsel denklemler -- Kısmi türevsel denklemler -- Olasılık -- Kompleks fonksiyonlar teorisi - Sayılar teorisi - Soyut cebir - Grup teorisi - Çizge Kuramı | |
Sonlu matematik | Kombinatorik -- Saf küme teorisi -- Olasılık -- Hesap kuramı -- Sonlu matematik -- Kriptografi -- Çizge Kuramı -- Oyun kuramı | |
Uygulamalı matematik | Mekanik -- Sayısal analiz -- Optimizasyon -- Olasılık -- Matematikte İstatistik -- Finansal matematik | |
Ünlü kuramlar ve sanılar | Fermat'nın son teoremi -- Riemann hipotezi -- Süreklilik hipotezi -- P=NP -- Goldbach sanısı -- Gödel'in yetersizlik teoremi -- Poincaré sanısı -- Cantor'un diagonal yöntemi -- Pisagor teoremi -- Merkezsel limit teoremi -- Hesabın temel teoremi -- İkiz asallar sanısı -- Cebirin temel teoremi -- Aritmetiğin temel teoremi -- Dört renk teoremi -- Zorn önsavı -- Fibonacci dizisi | |
Temeller ve yöntemler | Matematik felsefesi -- Sezgici matematik -- Oluşturmacı matematik -- Matematiğin temelleri -- Kümeler teorisi -- Sembolik mantık -- Model teorisi -- Kategori teorisi -- Teorem ispatlama -- Mantık -- Tersine matematik - Matematiksel mantık - Küme - Kategori Teorisi |