Halkalar

Halka, matematiğin temel yapılarından biridir ve soyut cebirde tam sayıların soyutlamasıdır. Bu yapıyı işleyen dala halka kuramı denir. Halkalara örnek olarak polinomlar, modülo n ya da karmaşık sayılar verilebilir.

Halka her şeyden önce bir kümedir ve belli özellikleri sağlar. Bu özellikler aşağıda verilmiştir.

Tanım

R boştan farklı bir küme olsun. Bu küme üzerinde "+" ve "$\cdot$" ikili işlemleri tanımlı olsun. Eğer;

• (R,+) kümesi değişmeli bir öbek,
• (R, $\cdot$) kümesi bir yarı öbek ve
• "$\cdot$" işlemi "+" işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılmalı

ise (R,+, $\cdot$) kümesine halka denir. Bunların yanında eğer,

• (R, $\cdot$) kümesi bir birlik ise (R,+, $\cdot$) kümesine birimli halka; ayrıca,
• (R, $\cdot$) kümesi değişmeli ise (R,+, $\cdot$) kümesine değişmeli halka denir.

Bir halkanın birinci işlemi olan (genellikle toplama) "+" işleminin birim öğesine sıfır denir ve 0 ile gösterilmesi gelenektir. Halkanın ikinci işlemi olan (genellikle çarpma) "$\cdot$" işleminin birim öğesi varsa bu birim öğeye bir denir ve geleneksel olarak 1 ile gösterilir.

Ayrıca bir halkada genellikle 0=1 olmadığı da bir belit olarak eklenir. Nitekim 1=0 olması bir çelişki yaratmaz ancak, 1=0 olduğunda R halkası tek öğeli bir küme olur. Bunu aşağıdaki gibi basitçe her sayının sıfıra eşit olduğunu göstererek kanıtlayabiliriz:

a = a.1 = a.0 = 0

Halkanın tam tanımı için bir uzlaşma görülmüyor. Bazı matematikçiler (örneğin Ali Nesin) bir halkanın hem birimli hem bileşmeli hem de değişmeli olduğunu varsayar. Eğer birim öğesiz veya değişme özelliği olmayan bir halkadan bahsedilecekse birimsiz halka ya da değişmesiz halka denmiş olur. Bourbaki ya da Herstein gibi matematikçiler de birim öğesi olmayan halkalara yalancı halka demeyi tercih eder. Bu sayfada bahsedilen halkalar hem değişmeli hem bileşmeli hem de birim öğeli alınacaktır.

Ayrıca bakınız

• Değişmeli halka
• Bölüm halkası
• Cisim
• Yarı halka
• Yalancı halka