Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. Karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler
Genel olarak karmaşık sayılar için "z" harfi kullanılır. a ve b sayıları gerçel olup özelliğini sağlayan sanal birime denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde yerine, kullanılır.
Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizce'de karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de raslanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.
Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.
Bir z karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) şeklinde gösterilir. Bütün bu tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim. sayısı gerçel kısmı , sanal kısmı olan uzayında bir karmaşık sayıdır. Gerçel sayılar, karmaşık sayıların alt kümesi olduğu için, uzayındaki cebrin hepsi dolayısıyla uzayında da tanımlıdır. Bunun dışında karmaşık sayıların başka özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.
Tanım[]
Karmaşık sayılar kümesi birçok şekilde tanımlanabilir. Aşağıdaki tanımların hepsi birbirine eşyapısaldır, yani yapısal olarak biri diğerinin yerine kullanılabilir. Bu yüzden aslında içerik olarak farklı olan aşağıda tanımlanan tüm kümeleri aynı harfle gösterdik, . Ayrıca bu simge, sadece karmaşık sayılar dediğimiz öğeleri içeren bir küme olmaktan ötedir, üzerine tanımlayacağımız iki tane ikili işlemi olan bir cisimdir. Üstelik bu cisim, gerçel sayıların en büyük cisim genişlemesidir, yani gerçel sayıları bundan daha fazla genişletemeyiz. Gerçel sayılarla karmaşık sayıların aynı kardinaliteye (öğe sayısına) sahip olduğunu da unutmayalım.
Kartezyen uzay tanımı[]
Gerçel sayılar kümesinde her sayıyı ile çarparsak elde ettiğimiz kümesi önceki kümesine eşyapısaldır. Karmaşık sayılar cismi ise buradan hareketle
olarak tanımlanmış olur. Bu 2 boyutlu kartezyen uzay, Argand düzlemi olarak anılır. Eğer yerine tamsayılar cismi alınırsa oluşan karmaşık tamsayılar Gauss düzlemindedir. Bu sayılara da Gauss sayıları denir.
Karmaşık sayılar, bu tanımla aşağıdaki gibi ifade edilir: olmak üzere;
Burada açıkça ve dir.
Cisim genişlemesi tanımı[]
Karmaşık sayılar, gerçel sayılar cisminin bir cisim genişlemesidir. sayısı polinomunun köklerinden biridir ve diğer kökü de olur. Bu iki öğenin gerçel sayılarla olan genişlemesinin eşyapısal olduğu kolaylıkla görülebilir:
Bu durumda
olarak tanımlanır. Daha açık olarak, karmaşık sayılar gerçel sayılar polinom halkasının polinomuyla üretilen bölüm halkasıdır:
Bu bölüm halkasında X öğesinin görüntüsü karmaşık birimidir. Bu sayede karmaşık sayılar halkası cebirsel olarak kapalı olur ki bu, gerçel sayıların cebirsel kapanışıdır. Cebirin temel teoremi bunu gerektirir, n dereceli her polinomun tam n kökü vardır. Biz, her karmaşık sayının olarak ifade edildiği bu tanıma daha âşinâyız.
Karmaşık sayılarda işlem[]
Karmaşık sayılarda cebirsel işlemler gerçel sayıların genişlemesidir. Öncelikle iki karmaşık sayının eşitliğini verelim.
Eşitlik[]
Bir ve karmaşık sayıları için
- ancak ve iken geçerlidir.bu doğru bir kavramdır...
Toplama[]
Bir ve karmaşık sayıları için
Çarpma[]
Bir ve karmaşık sayıları için
Eşlenik[]
Bir karmaşık sayısı için eşlenik ifadesi dönüşümüdür ve
ya da matrislerde
olarak tanımlanır.
Eşleniğin cebirsel özellikleri[]
- ancak z gerçel sayı olduğunda geçerlidir.
Çarpımsal Ters[]
Bir karmaşık sayısının tersi
olarak ya da bir matrisin tersine uygun olarak
olduğu görülür.
Ayrıca bakınız[]
- Karmaşık analiz
- Hiperbolik sayılar
- Çifte karmaşık sayılar (bicomplex numbers)
- Dörtlük sayılar (Quaternions)
- Sekizlik sayılar (Octonions)
Başvuru ve Kaynaklar[]
- Matematik Dünyası Dergisi, sayı 2005-II (Yaz), "Karmaşık Sayılar" konusu, sayfa 64-73.
Matematik - Cebir Mizan | ||
---|---|---|
Sayılar | Doğal sayılar - Tam sayılar - Rasyonel sayılar - İrrasyonel sayılar- Reel sayılar - Karmaşık sayılar- Asal sayılar-Sabitler- Hiperbolik sayılar- Çifte karmaşık sayılar - p-sel sayılar-Ardışık sayılar - Aşkın sayı - Mükemmel sayı-İkili sayılar-Sıfır | Matematik |
Uzay | Cebirsel geometri -- Diferansiyel geometri -- Diferansiyel topoloji -- Cebirsel topoloji -- Lineer cebir -- Geometri - Trigonometri - Diferansiyel geometri - Topoloji - Fraktal geometri | |
Hesap | Aritmetik -- Analiz -- Türev -- Kesirli hesap -- Fonksiyonlar -- Trigonometrik fonksiyonlar - Kalkülüs - Vektör hesabı- Diferansiyel denklemler - Dinamik sistem - Kaos kuramı | |
Temel matematiksel yapılar | Monoid -- Öbek (matematik) -- Halkalar -- Cisim (Cebir) -- Topolojik Uzaylar -- Çokkatlılar -- Hilbert aksiyomları -- Sıralamalar | |
Temel matematiksel kavramlar | Kümeler -- Sayılar -- Fonksiyonlar -- Limit -- Süreklilik -- Türev ve Türevlenebilirlik -- Analitiklik -- İntegrallenebilirlik -- Matris -- Eşyapı -- Homotopi -- İyi-sıralılık ilkesi -- Sayılabilirlik -- Soyutluk -- Determinantlar -- Oran -- Orantı -- Polinom -- Permütasyon -- Kombinasyon -- Logaritma -- Diziler -- Seriler | |
Matematiğin ana dalları | Soyut cebir -- Sayılar teorisi -- Cebirsel geometri -- Grup teorisi -- Analiz -- Topoloji -- Çizge Kuramı -- Genel cebir -- Kategori teorisi -- Matematiksel mantık -- Türevsel denklemler -- Kısmi türevsel denklemler -- Olasılık -- Kompleks fonksiyonlar teorisi - Sayılar teorisi - Soyut cebir - Grup teorisi - Çizge Kuramı | |
Sonlu matematik | Kombinatorik -- Saf küme teorisi -- Olasılık -- Hesap kuramı -- Sonlu matematik -- Kriptografi -- Çizge Kuramı -- Oyun kuramı | |
Uygulamalı matematik | Mekanik -- Sayısal analiz -- Optimizasyon -- Olasılık -- Matematikte İstatistik -- Finansal matematik | |
Ünlü kuramlar ve sanılar | Fermat'nın son teoremi -- Riemann hipotezi -- Süreklilik hipotezi -- P=NP -- Goldbach sanısı -- Gödel'in yetersizlik teoremi -- Poincaré sanısı -- Cantor'un diagonal yöntemi -- Pisagor teoremi -- Merkezsel limit teoremi -- Hesabın temel teoremi -- İkiz asallar sanısı -- Cebirin temel teoremi -- Aritmetiğin temel teoremi -- Dört renk teoremi -- Zorn önsavı -- Fibonacci dizisi | |
Temeller ve yöntemler | Matematik felsefesi -- Sezgici matematik -- Oluşturmacı matematik -- Matematiğin temelleri -- Kümeler teorisi -- Sembolik mantık -- Model teorisi -- Kategori teorisi -- Teorem ispatlama -- Mantık -- Tersine matematik - Matematiksel mantık - Küme - Kategori Teorisi |