FANDOM


Bir küme ve o küme üzerinde aşağıda tarif edilecek olan ikili bir ilişki içeren aksiyomatik sistemlere denir. Bilinen sıralama $ \leq $ ilişkisinin soyutlanmasıyla elde edilirler. Kümemize X, ilişkimize R adını verecek olursak, aşağıdaki aksiyomların sağlandığını varsayarız.

  • X kümesinin her a elemanı için R(a,a) ilişkisi sağlanmalıdır. ($ a\leq a $ şeklinde düşünülebilir, yansıma özelliği olarak bilinir.)
  • X kümesinin herhangi iki a ve b elemanı için R(a,b) ve R(b,a) ilişkileri sağlanıyorsa, $ a=b $ olamlıdır. (hem $ a\leq b $ hem de $ b\leq a $sağlanıyorsa a=b dir diye düşünülebilir, antisimetrik olma özelliği olarak bilinir.)
  • X kümesinin herhangi üç a, b, ve c elemanı için hem R(a,b) hem de R(b,c) ilişkileri ağlanıyorsa, o zaman R(a,c) ilişkisi de sağlanmalıdır. (hem $ a\leq b $ hem de $ b\leq c $ ise $ a\leq c $ de olmalıdır diye de düşünülebilir, geçişkenlik özelliği olarak bilinir)

Sıralamalara örnekler Edit

(Doğal Sayılar, $ \leq $ ilişkisi) -- (Rasyonel Sayılar, $ \leq $ ilişkisi) -- (Reel Sayılar,$ \leq $ ilişkisi) -- (Kümeler Uzayı*, $ \subset $ ilişkisi)


$ * $Teknik olarak bir küme değildir ancak bu sorun yaratmaz.

Sıralama çeşitleri Edit

  • Eğer elimizdeki sıralama nesnesi, yukardaki aksiyomlara ek başka varsayımlar sağlamıyorsa elimizdeki sıralamaya "kısmi sıralama" denir. Yani her sıralama bir kısmi sıralamadır.
  • Eğer yukardaki aksiyomlara ek olarak X ten seçeceğimiz herhangi iki elemanı karşılaştırabiliyorsak (yani R(a,b) ve R(b,a) ilişkilerinden biri mutlaka doğru olmak zorundaysa) o zaman elimizdeki sıralamaya doğrusal sıralama denir. Yukardaki örneklerden (Doğal Sayılar, $ \leq $), (Rasyonel Sayılar, $ \leq $) ve (Reel Sayılar, $ \leq $) aynı zamanda doğrusal sıralamalara da örneklerken, (Kümeler Uzayı, $ \subset $ ilişkisi), doğrusal olmayan kısmi bir sıralamadır. Nedeni herhangi iki kümeyi $ \subset $ ilişkisine göre karşılaştırmanın mümkün olmamasıdır. Yani biri diğerini içermeyen iki kümenin varlığıdır.
  • Son olarak, doğrusal sıralama şartlarını sağlayan (X, R) sırlamalarından, "X in her alt kümesinin bir en küçük eleman içermesi şartı"nı sağlayanlara iyi-sıralama denir. Yukardaki örneklerden reel sayılar ve doğal sayılar iyi-sıralamalarken, rasyonel sayılar iyi sıralama değildir. Örnek olarak "karekök ikiden büyük rasyonel sayılar" kümesinin en küçük bir elemanı olmaması verilebilir.

Sıralamaların önemi Edit

  • Her sıralama nesnesi bir topolojik uzay yapısına sahiptir. Bu yapının açık kümelerinin temeli "öyle x elemanları ki $ a\leq x\leq b $" şeklinde ifade edilebilen kümelerden oluşur, a veya b az önceki formülde gözükmüyor da olabilirler.
  • Zorn'un Lemması, sayesinde kısmi sıralamalar matematiğin pek çok alanında uygulama bulmuşlardır. Mesela halka'larda maksimal ideallerin varlığı Zorn'un Lemması ve ideallarin $ \subset $ ilişkisine göre kısmi bir sıralama oluşturduğu gerçeği kullanılarak ispatlanır.
  • Reel Sayılar Kümesi'nin Rasyonel Sayılar Kümesi'ni kullanılarak oluşturulmasının bir temeli de Alman matematikçi Richard Dedekind tarafından verilmiştir. Dedekind'in yöntemi Rasyonel Sayılar Kümesi'nin bir iyi-sıralama haline getirilmesine dayanır. Diğer yöntem ise "bütünleme"dir.
  • İyi sıralamar matematikte nispeten nadir gözlenen, çok güçlü özellikler içeren objelerdir. Bu ilke ve kümeler teorisi arasındaki ilişki hakkında bilgi için ayrica İyi-sıralılık ilkesi Makalesi'ne bakabilirsiniz.
Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.